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数学

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高校生向け 数学の学習の進め方

大学受験の数学の問題を解けるようになるためには、まず数式の加減乗除や因数分解といった計算技術と各単元の本質的な考え方や意味の理解が必要であり、そのためにはある程度の量の基本問題をこなさなければなりません。

高校生になって数学のために予備校に通うと、講義を聴いただけで理解したつもりになって、手を動かすということを疎かにしてしまう場合がときおり見受けられます。そのために、せっかく時間をかけて予備校に通ったにも関わらず、その効果がほとんど現れないとう結果になっているようです。過去に大学受験の数学の個別指導を受けるために当会に入会した会員様の中にもそのような状況に陥っていた方がいます。

志望校に合格するためには、基本を身につけるとともに、標準問題を解くことにより解法の基本パターンを習得し、さらには応用問題に対応できるようにならねばなりません。そのためには膨大な量の問題に取り組む必要がありますが、全ての問題を自分一人で解決できるとは限りません。

一人では前に進めない、そんな時には当会が誇る講師陣の質の高い個別指導を受けてみて下さい。そうすれば、単に問題の解法を理解するだけではなく、自らがその解法を操ることができるようになるはずです。

学習の進め方 総評

数学は「考える」科目、つまり論理を学ぶ科目です。しかしながら、大学受験のための数学の問題は、「数学を使ったパズル」である側面もあります。そして、そのパズルの作成者は1つないしは複数の解法を使えば問題を解くことができるように仕組んでいます。したがって、数学の問題を解くということは、その仕組みをどう見抜いて解いていくのかという作成者との知的ゲームに勝つということとも言えるのです。

(1)数学の学習の3つのレベル

1)数学の「基本的道具」を身につけるレベル

数式の加減乗除や因数分解といった計算技術と、各単元の本質的な考え方や意味の理解という「基本的道具」を、「基本問題」を繰り返し何度も解いて完全に身につけることが必要である段階です。
どんな人でも、ある程度の問題量をこなさないと計算力はつきませんし、理解も表面的なものにとどまります。したがって、このレベルを飛ばすことは絶対にできません。教科書と教科書傍用問題集のB問題程度の問題を数多く取り組む必要があります。

このレベルを軽視する人が多いかもしれません。しかしながら、それは間違いです。それどころか、このレベルの問題の理解度と演習量によって将来の数学の学力がどこまで伸びるのかが決まってしまう、とすらいうことができます。

公式の暗記ではなく、各単元の本質的な考え方と意味をどこまで深くかつ正確に理解できたのか、ということが重要なのです。

そのためには、

  1. 教科書を繰り返し読むこと(特に定義はしっかり会得すること)
  2. 講師から何度も講義を受けること
  3. 演習量を多くこなすこと

が極めて大切です。心底分かったと思えたら、その単元はその後の努力次第でどこまでも伸びる可能性があります。

※ よく中学校までは数学ができたのに、高校に入ってからなぜか分からなくなったという人がいます。しかし、それは「なぜか」ではないのです。事実、中学数学に比べて高校数学は難しいのです。つまり教科書の基本概念の理解が難しいのです。難しいにもかかわらず、中学の時と同様に教科書を一読して分かったつもりになり、公式だけ暗記して先へ進もうとするためにどんどん分からなくなっていくのです。

2)「解法の基本パターン」を身につけるレベル

① 「解法の基本パターン」を身につけるレベル

上記1)の「基本的道具」を利用して「標準問題」を解き、関数のグラフの描画法や数列の漸化式などの解法、すなわち「解法の基本パターン」を身につけることが必要な段階です。
「解法の基本パターン」は、数Ⅰで約100個、数Ⅱで約100個というように1分野につき約100個あります。したがって、文系の人であれば数Ⅰ・Ⅱ・A・Bの4分野で約400個、理系の人であれば数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・Cの6分野で約600個あります。これらを身につけるためには、文系の人であれば最低600問、理系の人であれば最低1,200問のこのレベルの問題を解き、解法とその使い方を完全に暗記することが必要です。模範解答が自分の解法と異なっている場合があることもありますが、模範解答の解法を覚えていくことが大切なのです。

このように、上記①のレベルが「理解」が主であったのに対して、この「解法の基本パターン」を身につけるレベルでは、「暗記」が主となります。ただし暗記といっても、解答を映像として暗記するのではいけません。解法の意味を考えながら学習することが重要です。

② このレベルで伸び悩んだ場合の対応

このレベルでは、「解法を覚えたが、覚えた問題から少し問題の形を変えられると、同じ解法で解くことができることを見抜けないために手が止まってしまう」ということが起きることがよくあります。
このことは、その解法を本当の意味で理解していないために起きると考えられます。このような場合は、以前に学習した同じ解法で解くことができる問題を探すようにしてください。その問題と今解くことができていない問題を比較して、時間をかけて考えることによって解法が本当に自分のものとなるのです。
また、このレベルの学習を行うことで、上記1)の「基本的道具」に対する理解もより深まるのです。例えば、式の計算を行う際の対称性への注目等です。
このようにして発見した注意点は、模試で間違えた問題のポイントの書き出しとともに、分野別にノート等にまとめると非常に効果的です。
この「解法の基本パターン」を苦手な分野がなく全ての分野について自在に駆使して問題を解くことができれば、相当な学力がついているといえます。中堅大学で出題される問題であれば、十分対応できますし、難関大学が出題する問題でも1~2問は解くことができるようになります。
※ 初めて見た問題を解くことができるのは、問題文を読んだりしたとき等に、どの解法を使えば解くことができるのかということを思い出すことができるからなのです。
したがって、「数学の学力が高い」ということは、「他人より多くの問題を解き、解法とその解法の使い方を身につけている」ということなのです。
初めて見る入試問題に対応するためには、東京書籍の「ニューアクション」や数研出版の「黄チャート」や「青チャート」等の参考書で「解法の基本パターン」を全て理解し、身につけておくことが必要なのです。

3)「応用問題」を解く練習をするレベル

上記2)の「解法の基本パターン」を自在に駆使して問題を解くことができるようになれば、その基本パターンを2つないしは3つを組み合わせて問題を解く「応用問題」を解く練習をする段階に入ります。

このレベルで重要なことは、

  1. 1問約20分から30分程度かけて、1問1問を一人でじっくり考えて解いてみる
  2. 解答を見て、組み合わされている「解法の基本パターン」を読み取る
  3. 上記②の作業の終了後に、「この問題を解くにあたって、どうすれば解法の基本パターンの組合せを

思いつくことができるのだろうか」と深く考え、解法の研究をする
という3つの作業を行うことです。

上記1)の数学の「基本的道具」を身につけるレベルでは「理解」が、また上記2)の「解法の基本的パターン」を身につけるレベルでは「暗記」が主であったのに対し、この「応用問題」を解く練習をするレベルでは「研究」が主となります。

しかしながら、上記③の「解法の研究」を進めていくと、「応用問題」の解法にもパターンがあることが分かってきます。入試問題という限られた時間内で必ず解けるはずの問題を確実に解くためには、「応用問題」でもできる限りパターン化して暗記すべきです。

また、このようなパターンも上記2)の②で記述したのと同様にノート等にまとめて、自分の知識として身につけることが非常に効果的です。

※ 数学という科目の最大の特徴は、「レベルを飛ばしていくと全く伸びない」ということです。受験本番までどんなに時間がない場合であっても、絶対に1)→2)→3)というレベルを飛ばすことは絶対にできません。

(2)教科書の大切さ ― 定義の大切さ ―

世の中には、生まれながらにして極めて優れた数学的センスを持っている人がごくわずかながら存在する一方で、数学だけはどうも苦手である人もかなり多く存在します。しかも数学が苦手である人の多くは、小学生の頃から算数が苦手であり、かつ周囲の人からもそう言われ続けてきたため、ほとんど数学アレルギー状態になっています。

しかしながら、決して数学の勉強を諦めてしまうことはありません。数学が苦手な人でも同じ単元を一定の間隔をおいて、もう一度講義を受けたり、教科書を改めて読み返すと、意外なほどに容易に理解できることがよくあるからです。もちろん時間をかけずにどんどん理解していくことが理想ですが、時間をかけてでも深く正確な理解が出来るように一歩一歩進んでいくことも非常に大事なのです。

そのためには、少しでも行き詰ることがあったらすぐに教科書に立ち返ってください。そうすれば、必ず新たな発見があるのです。繰り返し何度も何度も教科書を読むことが大切なのです。教科書を読むときは、定義を覚えることと、定理の証明が自分でできるようになることに重点を置いて読んでください。そちらの方が例題や類題を解くことよりも重要です。

(3)学年別学習の進め方

1)高校1~2年生

高校1~2年生の間は、数学の「基本的道具」を身につけるレベルと「解法の基本パターン」を身につけるレベルの学習を進めるようにしてください。
また、夏休み等の長期休暇の期間にはそれまでに学んだ範囲を繰り返し復習することによって「基本的道具」や「解法の基本パターン」を忘れてしまわないように努めてください。さらに、ベクトルや数列等の苦手分野を作ることがないように特定の分野に偏ることなくバランスよく勉強するようにしてください。
数学ⅠAとⅡBについては、それぞれを一通り学習し終えたら、センター試験対策用の問題集を2~3回繰り返して演習するようにしてください。

2)高校3年生

高校3年生では、1~2年生の時に身につけた「基本的道具」と「解法の基本パターン」を活用して、「応用問題」に取り組んでください。高校3年の4~6月は「基本的道具」と「解法の基本パターン」の復習に取り組み、7月頃から「応用問題」の演習を行えば、難関大学の受験でも十分間に合います。

3)高卒生

高卒生については、学力に応じて学習の進め方が異なりますが、数学の「基本的道具」を身につけるレベルと「解法の基本パターン」を身につけるレベルに不安がある場合は、各単元の本質的な考え方や意味を理解し、「解法の基本パターン」を身につけていくことを何よりもまず行うようにしてください。

(4)数学の成績が向上しない原因

相当な時間をかけて、多くの問題を演習したはずなのに、なかなか成績が向上しないことがあります。そのような場合には、数学の勉強を投げ出さずに、以下のA)~G)の7項目を確認してみてください。それらの7つの課題を克服すれば、学力は確実に伸びます。

A)問題を解く時に、まず自分で考えてみるということをほとんどせずに、すぐに解答を見て分かったつもりになっていませんか。

B)ある1冊の問題集を最初から最後まで解くことを1度だけしかせず、繰り返し解くということをしていないのではないですか。

C)基本問題を解いて数学の「基本的道具」を身につける時に、各単元の本質的な考え方や意味を理解することに時間をかけずに、ただ公式を当てはめて解くことしかしていないのではないですか。

D)数学の「基本的道具」を身につけていない段階で「解法の基本パターン」レベルの問題ばかりに取り組んだり、「解法の基本パターン」を身につけていない段階で「応用問題」ばかりに取り組んだりしていませんか。

E)問題を見て解法を思いついただけで解いた気分になって、実際にノート等に解答を最後まで書くという作業を怠っていませんか。また、途中の計算式をノートの片隅に走り書き程度に書いたり、あるいは全く書いたりせずに解答だけを書いたりしませんか。

F)テストが返却された後、テストの見直しが甘かったり、そもそもほとんど見直しをしていなかったりしませんか。

G)我慢できずにすぐに解答・解説を見る癖がついていませんか。

また、計算を早く正確に行うことが苦手な人は、毎日30分間でもよいので計算練習を行うようにしてください。数値の計算が苦手な人は、中学受験や高校受験用の計算ドリルに取り組み、式の計算が苦手な人は、教科書傍用問題集等の数式の展開や因数分解や微分・積分等の問題に取り組むようにしてください。
毎日継続的に実践すれば、計算を早く正確に行えるようになり、そのことが数学の成績の向上にもつながるのです。

(5)答案の書き方について

問題を解く場合、最初から模範解答を見たりせずに、自分で考えてみて自分なりの答案を作るようにしてください。その際の答案は、必ずしも最後までできていなくても構いません。途中までだったとしても、実際に答案を書くことによって「どこまでが分かっていて、どこからが分かっていないのか」が明らかになります。そのために、後で模範解答を読むときのポイントが明確になっているのです。

また、上手な答案の書き方ができれば、入試においては有力な武器になります。実際、上手に書いた答案は、そうでない答案より部分点が大きくもらえます。そのためには、普段から模範解答を参考にして、上手な答案の書き方を練習することが必要です。

さらに、試験の答案用紙は、ノートのように罫線が入っているわけではなく、無地のものです。無地の紙に答案をきれいに見やすく書くことは、なかなか難しいので、普段から無地のノートで勉強するようにして、訓練を積んでおくべきです。